quarta-feira, 28 de outubro de 2009

PROBLEMA DE MONTY HALL

O problema de Monty Hall ou paradoxo de Monty Hall é um problema matemático e paradoxo que surgiu a partir de um concurso televisivo dos Estados Unidos da América chamado Let’s Make a Deal, exibido na década de 1970.
O jogo consiste no seguinte: Monty Hall (o apresentador) apresentava 3 portas aos concorrentes, sabendo que atrás de uma delas está um carro (prémio bom) e que as outras têm prémios de pouco valor.
  1. Na 1ª etapa o concorrente escolhe uma porta (que ainda não é aberta);
  2. De seguida Monty abre uma das outras duas portas que o concorrente não escolheu, sabendo à partida que o carro não se encontra aí;
  3. Agora com duas portas apenas para escolher -- pois uma delas já se viu, na 2ª etapa, que não tinha o prémio -- e sabendo que o carro está atrás de uma delas, o concorrente tem que se decidir se permanece com a porta que escolheu no início do jogo e abre-a ou se muda para a outra porta que ainda está fechada para então a abrir.
Qual é a estratégia mais lógica? Ficar com a porta escolhida inicialmente ou mudar de porta? Com qual das duas portas ainda fechadas o concorrente tem mais probabilidades de ganhar? Porquê?
Realmente não é assim tão indiferente mudar ou ficar na mesma porta. No início, quando se escolheu uma das portas, havia 1/3 de probabilidade de ganhar o carro. Não existe razão nenhuma para essa probabilidade mudar após o Monty Hall ter aberto uma das portas que não era premiada. As outras duas portas não escolhidas tinham em conjunto 2/3 de probabilidade de ocultarem o carro e quando uma dessa portas é aberta (por não ter prémio) a porta não escolhida que continua fechada passa a ter 2/3 de probabilidade de ser a porta do carro.
A confusão é feita seguindo o raciocínio que parece mais lógico: "mas a porta escolhida também continua fechada... então cada uma das portas fechadas passa a ter 1/2 de hipótese de ter o carro".


Solução

A resposta correta e contra-intuitiva é que é vantajoso trocar. Na verdade é duas vezes mais provável ganhar o prémio se se trocar de porta do que se não o fizer.
Existem três portas - A, B e C. Quando o concorrente escolheu uma delas, digamos a A, a hipótese de que ela seja a premiada é de 1/3. Como consequência, a probabilidade de que tenha errado, ou em outras palavras, de que o prémio esteja nas outras duas portas B ou C é de 2/3. Pode-se comprovar isso somando a probabilidade de cada uma das outras portas ou simplesmente sabendo que a probabilidade de que haja um prémio é sempre 1. O importante é ter em mente que a hipótese de que o prémio esteja nas outras portas que você não escolheu é de 2/3.
Entendendo isso, basta ver que o apresentador abrirá sem erro uma dessas outras duas portas que contém um prémio mau, digamos que seja a B. Ao fazer isso, ele está-lhe a dar uma informação valiosa: se o prémio estava nas outras portas que não escolheu (B ou C), então agora ele só pode estar na porta que você não escolheu e não foi aberta, ou seja, a porta C. Ou seja, se o concorrente errou ao escolher uma porta - e as chances disto são de 2/3 - então ao abrir uma das outras portas não-premiadas o apresentador está literalmente a dizer-lhe onde está o prémio. Toda vez que o concorrente tiver escolhido inicialmente uma porta errada, ao trocar de porta irá com certeza ganhar. Como as hipóteses de que tenha errado com a sua escolha inicial são de 2/3, se trocar as suas hipóteses de ganhar serão de 2/3 - e por conseguinte a hipótese de que ganhe se não trocar de porta é de apenas 1/3. É assim mais vantajoso trocar de porta.
O problema de Monty Hall é exposto em muitos cursos de probabilidades e de estatística e um exercício com ele seria dado em Harvard e Princeton. Ele demonstra muito bem como o nosso cérebro não foi feito para lidar intuitivamente com tais tipos específicos de problemas. Felizmente pode-se resolver o problema de Monty Hall no papel de forma simples e sem erro usando o teorema de Bayes relativo às probabilidades condicionadas.

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